CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Definición: Una función f(x) es continua en un punto x = así:

Dado  ∈ > 0, existe δ > 0 tal que siempre que |x − a| < δ, entonces |f(x) − f(a)| < ∈

Dicho de otra forma, si nos acercamos al punto a, entonces las imágenes se acercan a la imagen de a, f(a).

Si f(x) no es continua en x = a se dice que f(x) es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en x = a.

Propiedad: Para que una función sea continúa en un punto a es necesario y suficiente que:

a) Exista el valor de la función en el punto, f(a).

b) Existan los límites laterales,

lim  f(x)

x→a+

y

lim f(x)

x→a−

, y sean finitos e iguales entre si e iguales a f(a), es decir:

lim  f(x)  =    lim    f(x) = f(a)

x→a+            x→a−

 

Esta ´ultima propiedad proporciona una forma muy sencilla de saber si una función es continua o no en un punto.

TIPOS DE DISCONTINUIDAD:

1.Existe f(a) y los limites laterales, que son iguales y finitos, pero distintos del valor de f(a). Una discontinuidad de este tipo se denomina discontinuidad evitable. 

    

Observamos que los limites por la derecha y por la izquierda valen 1, ambos, mientras que f(0) =0. Hay una discontinuidad evitable en x =0.

2. Existe f(a) y los limites laterales existen y son finitos, aunque distintos. Estamos ante una discontinuidad de salto finito.

En este caso el limite por la derecha es 1, el izquierdo es 0 y f(0) = −1/2 , hay una discontinuidad evitable en x =0.

3. Existe f(a) y alguno de los limites laterales es infinito. En este caso hay una discontinuidad de salto infinito.

Ahora f(0) =1, el limite por la izquierda vale 1 también y el limite lateral por la derecha vale+∞. Discontinuidad de salto infinito en x =0.

4. No existe f(a) o alguno de los límites laterales. Se trata de una discontinuidad esencial.

Los limites laterales, ambos, son +∞, pero f(0) no existe. Hay una discontinuidad esencial en x =0.